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연습문제 1 - 벡터의 연산 - 선형대수학
다음 그림과 조건을 보고 각 B, 각 BAC(이하 각 A)의 크기를 구하시오.
=> 조건
벡터 OB: 크기가 150이고, y축과 이루는 각의 크기가 \( 10^{\circ} \)
벡터 OC: 크기가 100이고, x축과 이루는 각의 크기가 \( 15^{\circ} \)
사각형 ABOC: 평행사변형
문제 풀이
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풀이 1
점 A의 좌표를 (a, b)라고 하자
두 벡터 u, v가 x축과 이루는 각의 크기는 각각 \( 80^{\circ} \), \( 15^{\circ} \)이므로
두 점 B, C의 좌표는 각각 \( \left( 150 \cos{ 80^{\circ} \text{, } 150 \sin{ 80^{\circ} } } \right) \), \( \left( 100 \cos{ 15^{\circ} \text{, } 100 \sin{ 15^{\circ} } } \right) \)
사각형 ABOC는 평행사변형이므로
\( p = u+v \)
따라서 \( p = \( \left( 150 \cos{ 80^{\circ} } + 100 \cos{ 15^{\circ} } \text{, } \sin{ 80^{\circ} } + 100 \sin{ 15^{\circ} } \right) \)이므로
\( a = 150 \cos{ 80^{\circ} } + 100 \cos{ 15^{\circ} } \), \( b = \sin{ 80^{\circ} } + 100 \sin{ 15^{\circ} } \)
코사인 법칙에 의하여
\( \matrix{begin} \overline{ OA }^{2} &=& \overline{ OB }^{2} + \overline{ AB }^{2} -2 \times \overline{ OB } \overline{ AB } \cos{ B } \\ &=& 150^{2} + 100^{2} -2 \times 150 \times 100 \cos{ B } \\ &=& 32500 -30000 \cos{ B } \end{matrix} \)
따라서 \( \overline{ OA }^{2} = 32500 -30000 \cos{ B } \)
이때 \( \overline{ OA } = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } \)이므로
\( \begin{matrix} \overline{ OA }^{2} &=& a^{2} + b^{2} \\ &=& \left( 150 \cos{ 80^{\circ} } + 100 \cos{ 15^{\circ} } \right)^{2} + \left( 150 \sin{ 80^{\circ} } + 100 \sin{ 15^{\circ} } \right)^{2} \\ &=& 150^{2} \cos^{2}{ 80^{\circ} } +30000 \cos{ 80^{\circ} } \cos{ 15^{\circ} } + 100^{2} \cos{ 15^{\circ} } 150^{2} + \sin^{2}{ 80^{\circ} } +30000 \sin{ 80^{\circ} } \sin{ 15^{\circ} } + 100^{2} \sin{ 15^{\circ} } \\ &=& 150^{2} \cos^{2}{ 80^{\circ} } + 150^{2} \sin^{2}{ 80^{\circ} } + 100^{2} \cos{ 15^{\circ} } + 100^{2} \sin{ 15^{\circ} } + 30000 \cos{ 80^{\circ} } \cos{ 15^{\circ} } + 30000 \sin{ 80^{\circ} } \sin{ 15^{\circ} } \\ &=& 150^{2} + 100^{2} + 30000 \left( \cos{ 80^{\circ} } \cos{ 15^{\circ} } + \sin{ 80^{\circ} } \sin{ 15^{\circ} } \right) \\ &=& 32500 + 30000 \cos{ 80^{\circ} -15^{\circ} } \\ &=& 32500 + 30000 \cos{ 65^{\circ} } \)
따라서 \( \overline{ OA }^{2} = 32500 + 30000 \cos{ 65^{\circ} } \)이므로
\( 32500 + 30000 \cos{ 65^{\circ} } = 32500 -30000 \cos{ B } \)
\( \cos{ B } = - \cos{ 65^{\circ} } \)
이때 \( - \cos{ 65^{\circ} } = \cos{ 180^{\circ} - 65^{\circ} } = \cos{ 115^{\circ} } \)이므로
\( \cos{ B } = \cos{ 115^{\circ} } \)
따라서 \( B = 115^{\circ} \left( \therefore 0^{\circ} < B < 180^{\circ} \right) \)
\( A+B = 180^{\circ} \)이므로 \( A = 65^{\circ} \)
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