직선의 방정식 - 선형대수학(5)
직선의 방정식
벡터의 합성과 스칼라곱을 이용하면 직선의 방정식을 간단하게 표현할 수 있다. 먼저 원점이 \( O \)인 2차원 유클리드 평면 위의 두 점 \( A \), \( B \)를 생각하자.
시점이 원점 \( O \)이고 종점이 \( A \), \( B \)인 두 벡터를 각각 \( u \), \( v \)라 할 때, 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 \( w \)라고 하면 \( w = v-u \)가 성립한다. 우리는 벡터를 표기할 때 위치벡터를 이용하여 표현하기에 벡터 \( w \) 또한 아래 그림처럼 평행이동하여 위치벡터로 나타내자.
아래 그림에서 볼 수 있듯이 임의의 실수 \( t \)에 대하여 벡터 \( w \)의 스칼라배 \( t w \)는 직선 OB' 상에 있는 임의의 한 점을 종점으로 하는 벡터가 된다. 이때, 직선 AB는 직선 OB'과 평행하므로 다음과 같은 식을 통해 직선 AB 상에 있는 임의의 한 점을 나타낼 수 있다.
\( A + t w \)
따라서 직선 AB 위의 임의의 한 점을 \( x \)라고 하면 \( x = A + t w \)로 표현할 수 있다. 여기서 \( A = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) \), \( B = \left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) \)라고 하면 직선 AB의 방정식 \( x = A + t w \)를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ x = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \end{bmatrix} $$
이는 n차원 공간 상에서 정의된 임의의 두 점 \( A = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \right) \), \( B = \left( b_{1} \text{, } b_{2} \text{, } b_{3} \text{, } \cdots \text{, } b_{n} \right) \)를 지나는 직선 AB의 방정식으로 일반화하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \\ \vdots \\ b_{n} - a_{n} \end{bmatrix} $$
만물은 거대한 기호로 가득 차 있으며, 현명한 사람은 어떤 것으로부터 다른 것에 대한 것을 알 수 있다.
-플로티누스