수학/선형대수학

직선의 방정식 - 선형대수학(5)

프리_ 2022. 4. 17. 22:00
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직선의 방정식

 벡터의 합성과 스칼라곱을 이용하면 직선의 방정식을 간단하게 표현할 수 있다. 먼저 원점이 O인 2차원 유클리드 평면 위의 두 점 A, B를 생각하자. 

두 점 A, B를 지나는 직선

시점이 원점 O이고 종점이 A, B인 두 벡터를 각각 u, v라 할 때, 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 w라고 하면 w=vu가 성립한다. 우리는 벡터를 표기할 때 위치벡터를 이용하여 표현하기에 벡터 w 또한 아래 그림처럼 평행이동하여 위치벡터로 나타내자.

벡터 u, v, w

아래 그림에서 볼 수 있듯이 임의의 실수 t에 대하여 벡터 w의 스칼라배 tw는 직선 OB' 상에 있는 임의의 한 점을 종점으로 하는 벡터가 된다. 이때, 직선 AB는 직선 OB'과 평행하므로 다음과 같은 식을 통해 직선 AB 상에 있는 임의의 한 점을 나타낼 수 있다.

A+tw

벡터 u, v의 일차결합으로 표현된 직선 AB

따라서 직선 AB 위의 임의의 한 점을 x라고 하면 x=A+tw로 표현할 수 있다. 여기서 A=(a1a2), B=(b1b2)라고 하면 직선 AB의 방정식 x=A+tw를 다음과 같이 표현할 수 있다.

x=[a1a2]+t[b1a1b2a2]

 이는 n차원 공간 상에서 정의된 임의의 두 점 A=(a1a2a3an), B=(b1b2b3bn)를 지나는 직선 AB의 방정식으로 일반화하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[x1x2x3xn]=[a1a2a3an]+t[b1a1b2a2b3a3bnan]

 

 

 

만물은 거대한 기호로 가득 차 있으며, 현명한 사람은 어떤 것으로부터 다른 것에 대한 것을 알 수 있다.

-플로티누스


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