벡터의 합성 - 선형대수학(2)
유향선분 벡터는 크기와 방향을 가지기에 크기만을 고려하여 더하는 기존의 덧셈 방식을 사용할 수 없다. 이러한 문제를 해결하기 위해 우리는 벡터를 위한 새로운 덧셈 방식을 알아보자.
평행사변형법
$$ w = u + v $$
평행사변형법은 두 벡터의 시점을 일치시킨 후, 각 벡터를 평행이동하여 새로이 만들어진 벡터의 시점을 방향이 다른 벡터의 종점에 일치시켜 사용하는 벡터의 합성 방법이다. 이때, 두 벡터와 평행이동한 두 벡터로 인해 만들어지는 사각형은 평행사변형을 이루게 되고, 처음에 일치시킨 시점이 두 벡터를 합성한 벡터의 시점이, 평행이동한 벡터가 이루는 종점이 두 벡터를 합성한 벡터의 종점이 된다.
- 두 벡터의 시점을 일치시킨다.
- 두 벡터를 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형을 만든다.
- 처음의 시점과 마주보는 평행사변형의 점을 두 벡터를 합성한 벡터의 종점으로 잡아주어 벡터를 합성한다.
벡터의 합성을 처음 배울 때는 아무래도 이걸 가장 많이 쓰는 것 같다. 다만 다른 방법을 배우고 나면 가장 적게 쓰는 것 같다.
삼각형법
$$ w = u+v $$
삼각형법은 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 일치시킨 후, 일치시키지 않은 시점과 종점을 각각 두 벡터를 합성한 벡터의 시점과 종점으로 삼아 벡터를 합성하는 방법이다.
- 두 벡터 u, v에 대하여 벡터 u의 종점과 v의 시점을 일치시킨다.
- 벡터 u의 시점을 두 벡터를 합성한 벡터의 시점으로, 벡터 v의 종점을 두 벡터를 합성한 벡터의 종점으로 잡아주어 벡터를 합성한다.
기하학적으로 나타낼 때 가장 직관적으로 생각할 수 있는 방법이라고 본다. 벡터를 이용하여 기하학적인 부분을 다룰 때 가장 많이 사용한 방법이다.
위치벡터를 이용한 벡터의 덧셈
앞서 설명한 두 벡터 u, v를 평행이동하여 만든 위치벡터를 각각 \( \left( u_{1} \text{, } u_{2} \right) \), \( \left( v_{1} \text{, } v_{2} \right) \)라고 할 때, 벡터 w에 대하여 \( w = u + v \)라고 하면 다음이 성립한다.
$$ w = \left( u_{1} + v_{1} \text{, } u_{2} + v_{2} \right) $$
즉, 각 위치벡터의 서로 같은 종류의 성분끼리 더하여 벡터의 합성을 연산할 수 있다. 이는 다시 다음과 같이 서술할 수 있다.
$$ \left( u_{1} \text{, } u_{2} \right) + \left( v_{1} \text{, } v_{2} \right) = \left( u_{1} + v_{1} \text{, } u_{2} + v_{2} \right) $$
신은 솜씨 좋은 기하학자와 같다.
-토마스 브라운